Простой силлогизм. Фигуры простого силлогизма. Модусы простого силлогизма. Правила простого силлогизма. Разделительно-категорическое умозаключение. Условно-категорическое умозаключение.

Если в дедуктивном умозаключении и посылки, и вывод являются простыми суждениями (A, I, E, O; см. тему 4), то такое умозаключение называется простым, или категорическим силлогизмом.

Рассмотрим пример простого силлогизма.

Обе посылки и вывод являются в данном силлогизме простыми суждениями (причем и посылки, и вывод — это суждения вида А — общеутвердительные). Обратим внимание на вывод, представленный суждением: «Все розы — это растения». В этом выводе субъектом выступает термин «розы», а предикатом — термин «растения». Субъект вывода присутствует во второй посылке силлогизма, а предикат вывода — в первой. Также в обеих посылках повторяется термин «цветы», который, как нетрудно увидеть, является связующим: именно благодаря ему не связанные, разобщенные в посылках термины «растения» и «розы» возможно связать в выводе. Таким образом, структура силлогизма включает в себя две посылки и один вывод, которые состоят из трех (различным образом расположенных) терминов.

• Субъект вывода располагается во второй посылке силлогизма и называется меньшим термином силлогизма (вторая посылка также называется меньшей).

• Предикат вывода располагается в первой посылке силлогизма и называется большим термином силлогизма (первая посылка также называется большей). Предикат вывода, как правило, является по объему большим понятием, чем субъект вывода (в приведенном примере понятия розы и растения находятся в отношении родо-видового подчинения), в силу чего предикат вывода назван большим термином, а субъект вывода — меньшим.

• Термин, который повторяется в двух посылках и связывает субъект с предикатом (меньший и больший термины), называется средним термином силлогизма и обозначается латинской буквой М, потому что «средний» на латинском — это medium.

Три термина силлогизма могут быть расположены в нем по-разному. Взаимное расположение терминов друг относительно друга называется фигурой простого силлогизма. Таких фигур четыре, т.е. все возможные варианты взаимного расположения терминов в силлогизме исчерпываются четырьмя комбинациями. Рассмотрим их.

Первая фигура силлогизма — это такое расположение его терминов, при котором первая посылка начинается со среднего термина, а вторая заканчивается средним термином. Например:

Учитывая то, что в первой посылке средний термин связан с предикатом, во второй субъект связан со средним термином, а в выводе субъект связан с предикатом, составим схему расположения и связи терминов в приведенном примере:

Прямые линии на схеме (за исключением той, которая отделяет посылки от вывода) показывают связь терминов в посылках и в выводе. Поскольку роль среднего термина заключается в том, чтобы связывать больший и меньший термины силлогизма, то на схеме средний термин в первой посылке соединяется линией со средним термином во второй посылке. Схема показывает, каким именно образом средний термин связывает между собой другие термины силлогизма в его первой фигуре. Кроме того, можно изобразить отношения между тремя терминами с помощью кругов Эйлера. В данном случае получится следующая схема:

Вторая фигура силлогизма — это такое расположение его терминов, при котором и первая, и вторая посылки заканчиваются средним термином. Например:

Схемы взаимного расположения терминов и отношений между ними во второй фигуре силлогизма выглядят так:

Третья фигура силлогизма — это такое расположение его терминов, при котором и первая, и вторая посылки начинаются со среднего термина. Например:

Схемы взаимного расположения терминов и отношений между ними в третьей фигуре силлогизма:

Четвертая фигура силлогизма — это такое расположение его терминов, при котором первая посылка заканчивается средним термином, а вторая начинается с него. Например:

Схемы взаимного расположения терминов и отношений между ними в четвертой фигуре силлогизма:

Отметим, что отношения между терминами силлогизма во всех фигурах могут быть и другими.

Любой простой силлогизм состоит из трех суждений (двух посылок и вывода). Каждое из них является простым и принадлежит к одному из четырех видов (А, I, Е, О). Набор простых суждений, входящих в силлогизм, называется модусом простого силлогизма. Например, в силлогизме

первая посылка является простым суждением вида А (общеутвердительным), вторая посылка — это тоже простое суждение вида А, и вывод в данном случае представляет собой простое суждение вида А. Поэтому рассмотренный силлогизм имеет модус ААА. Силлогизм

имеет модус АЕЕ. Силлогизм:

имеет модус ААI. Всего модусов во всех четырех фигурах, т.е. возможных комбинаций простых суждений в силлогизме, — 256. В каждой фигуре 64 модуса. Однако из всех этих 256 модусов только 19 дают достоверные выводы, остальные приводят к вероятностным выводам. Если принять во внимание, что одним из главных признаков дедукции (а значит, и силлогизма) является достоверность ее выводов, то становится понятным, почему эти 19 модусов называются правильными, а остальные — неправильными.

Истинность посылок простого силлогизма сама по себе не гарантирует истинности его выводов, для последней требуется соблюдение нескольких правил силоллогизма. Рассмотрим основные из них.

• В силлогизме должно быть только три термина. Обратимся к уже упоминавшемуся (см. тему 1) примеру силлогизма, в котором данное правило нарушено:



Обе посылки этого силлогизма являются истинными суждениями, однако из них вытекает ложный вывод, потому что нарушено рассматриваемое правило. Термин «движение» употребляется в двух посылках в двух разных смыслах (движение как всеобщее мировое изменение и движение как механическое перемещение тела из точки в точку), и получается, что терминов в силлогизме три («движение», «хождение в школу», «вечность»), а смыслов (поскольку один из терминов употребляется в двух разных смыслах) четыре, т.е. лишний смысл как бы подразумевает лишний термин. Иначе говоря, в приведенном примере силлогизма было не три, а четыре (по смыслу) термина. Ошибка, возникающая при нарушении вышеприведенного правила, называется учетверением терминов.

• Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок. О распределенности терминов в простых суждениях говорилось в теме 4. Напомним, что проще всего устанавливать распределенность терминов в простых суждениях с помощью круговых схем: надо изобразить кругами Эйлера отношения между терминами суждения, при этом полный круг на схеме будет обозначать распределенный термин (+), а неполный — нераспределенный (–). Рассмотрим пример силлогизма:



Из двух истинных посылок вытекает ложный вывод. Изобразим кругами Эйлера отношения между терминами в посылках силлогизма и установим распределенность этих терминов:



Как видим, средний термин (живые существа) в данном случае нераспределен ни в одной из посылок, а по правилу он должен быть распределен хотя бы в одной из посылок. Ошибка, возникающая при нарушении рассматриваемого правила, так и называемая — нераспределенность среднего термина в каждой посылке.

• Термин, который был нераспределен в посылке, не может быть распределен в выводе. Обратимся к следующему примеру:



Посылки силлогизма являются истинными суждениями, а вывод — ложным. Как и в предыдущем случае, изобразим кругами Эйлера отношения между терминами в посылках и в выводе силлогизма и установим распределенность этих терминов:



В данном случае предикат вывода, или больший термин силлогизма (съедобные предметы) в первой посылке является нераспределенным (–), а в выводе — распределенным (+), что запрещается рассматриваемым правилом. Ошибка, возникающая при его нарушении, называется расширением большего термина. (Вспомним, что термин распределен, когда речь идет обо всех предметах, входящих в него и нераспределен, когда речь идет о части предметов, входящих в него, именно поэтому ошибка и называется расширением термина).

• В силлогизме не должно быть двух отрицательных посылок. Хотя бы одна из посылок силлогизма должна быть утвердительной (могут быть утвердительными и обе посылки). Рассмотрим пример:



Обе посылки в силлогизме являются отрицательными суждениями и, несмотря на их истинность, из них вытекает ложный вывод. Ошибка, которая возникает в данном случае, так и называется — две отрицательные посылки.

В разделительно-категорическом умозаключении, как явствует из названия, первая посылка представляет собой разделительное, или дизъюнктивное суждение, а вторая посылка — это простое, или категорическое суждение. Например:

Разделительно-категорическое умозаключение имеет два модуса. В утверждающе-отрицающем модусе, который также называют модусом понендо толленс (лат. modus ponendo tollens), первая посылка представляет собой строгую дизъюнкцию нескольких вариантов чего-либо, во второй посылке утверждается один из них, а в выводе отрицаются все остальные (таким образом, рассуждение движется от утверждения к отрицанию). Например:

С помощью условных обозначений логических союзов можно представить форму данного умозаключения в виде следующей записи: ((а  \/  в \/ с) /\ а) → (¬ в /\ ¬с), где (а  \/  в \/ с) — это первая посылка в виде строгой дизъюнкции трех простых суждений; а — это вторая посылка в виде утверждения одного из них; ((а  \/  в \/ с) /\ а) — это две посылки умозаключения, соединенные знаком конъюнкции; (¬ в /\ ¬с) — это вывод умозаключения в виде конъюнкции отрицаний двух оставшихся простых суждений, входивших в первую посылку; знак импликации (→) показывает, что из посылок следует вывод.

В отрицающе-утверждающем модусе, который также называют модусом толлендо поненс (лат. modus tollendo ponens), первая посылка представляет собой строгую дизъюнкцию нескольких вариантов чего-либо, во второй посылке отрицаются все данные варианты, кроме одного, а в выводе утверждается этот один оставшийся вариант (таким образом, рассуждение движется от отрицания к утверждению). Например:

С помощью условных обозначений логических союзов можно представить форму данного умозаключения в виде следующей записи: ((а \/ в \/ с) /\ (¬в /\ ¬с)) → a.

В разделительно-категорическом умозаключении следует соблюдать несколько правил.

• Деление в первой посылке должно проводиться по одному основанию. Например, умозаключение



построено по утверждающе-отрицающему модусу, но из двух истинных посылок вытекает ложный вывод. Почему так получается? Потому что в первой посылке деление проводилось по двум разным основаниям (в какой природной среде передвигается транспорт и кому он принадлежит; см. тему 3). Подмена основания деления в первой посылке разделительно-категорического умозаключения приводит к ложному выводу.

• Деление в первой посылке должно быть полным. Например, в умозаключении



неполное деление в первой посылке обусловливает ложный вывод, вытекающий из истинных посылок.

• Результаты деления в первой посылке не должны пересекаться, или дизъюнкция должна быть строгой. Например, в умозаключении



вывод является ложным, т.к. Канада в такой же степени северная страна, в какой и западная. Ложный вывод при истинных посылках объясняется в данном случае пересечением результатов деления в первой посылке, или, что одно и то же, — нестрогой дизъюнкцией. Следует отметить, что нестрогая дизъюнкция в разделительно-категорическом умозаключении допустима в том случае, когда оно построено по отрицающе-утверждающему модусу. Например, в умозаключении



нет ошибки, несмотря на то, что дизъюнкция в первой посылке была нестрогой. Таким образом, рассматриваемое правило безоговорочно действует только для утверждающе-отрицающего модуса разделительно-категорического умозаключения.

• Деление в первой посылке должно быть последовательным. Например, в умозаключении



ложный вывод следует из истинных посылок по той причине, что в первой посылке был допущен скачок в делении.

В условно-категорическом умозаключении первая посылка является условным, или импликативным суждением. Вторая его посылка представляет собой простое, или категорическое суждение. Например:

Условно-категорическое умозаключение имеет два модуса. В утверждающем модусе, который также называют модусом поненс (лат. modus ponens), первая посылка представляет собой импликацию, состоящую, как мы уже знаем, из двух частей — основания и следствия, вторая посылка является утверждением основания, а в выводе утверждается следствие, например:

Форма утверждающего модуса условно-категорического умозаключения: ((а → в) /\ а) → в где (а → в) — это первая посылка в виде импликации основания (а) и следствия (в); ((а → в) /\ а) — это две посылки умозаключения в виде двухчленной конъюнкции, состоящей из уже упомянутой импликации и утверждения основания; в — это вытекающий из посылок вывод умозаключения в виде утверждения следствия.

В отрицающем модусе, который также называют модусом толленс (лат. modus tollens) первая посылка представляет собой импликацию основания и следствия, вторая посылка является отрицанием следствия, а в выводе отрицается основание. Например:

Форма отрицающего модуса условно-категорического умозаключения: ((а → в) /\ ¬в) → ¬а.

Необходимо обратить внимание на уже известную нам особенность импликативного суждения, которая состоит в том, что основание и следствие нельзя поменять местами. Например, высказывание «Если вещество — металл, то оно электропроводно» является верным, т.к. все металлы — это электропроводники (из того, что вещество — металл, с необходимостью вытекает его электропроводность). Однако, высказывание: «Если вещество электропроводно, то оно — металл», неверно, т.к. не все электропроводники являются металлами (из того, что вещество электропроводно, не вытекает то, что оно — металл). Эта особенность импликации обуславливает два правила условно-категорического умозаключения.

• Утверждать можно только от основания к следствию, т.е. во второй посылке утверждающего модуса должно утверждаться основание импликации (первой посылки), а в выводе — ее следствие. В противном случае из двух истинных посылок может вытекать ложный вывод. Например, в условно-категорическом умозаключении



во второй посылке утверждалось следствие, а в выводе — основание ((а → в) /\в) → а. Это утверждение от следствия к основанию и является причиной ложного вывода при истинных посылках.

• Отрицать можно только от следствия к основанию, т.е. во второй посылке отрицающего модуса должно отрицаться следствие импликации (первой посылки), а в выводе — ее основание. В противном случае из двух истинных посылок может вытекать ложный вывод. Например, в условно-категорическом умозаключении



во второй посылке отрицается основание, а в выводе — следствие ((а → в) /\ ¬а) → ¬в. Это отрицание от основания к следствию и является причиной ложного вывода при истинных посылках.

Вспомним, что среди сложных суждений помимо импликации (а → в) есть также эквиваленция (а ↔ в). Если в импликации всегда выделяется основание и следствие, то в эквиваленции нет ни того, ни другого, т.к. она представляет собой сложное суждение, обе части которого тождественны (эквивалентны) друг другу. Если первой посылкой умозаключения является не импликация, а эквиваленция, то такое умозаключение называется эквивалентно-категорическим. Например:

((а ↔ в) /\ а) → в.

Если в условно-категорическом умозаключении два модуса правильных и два неправильных (см. выше), то в эквивалентно-категорическом умозаключении все четыре модуса являются правильными:

((а ↔ в) /\ а) → в;

((а ↔ в) /\ в) → а;

((а ↔ в) /\ ¬а) → ¬в;

((а ↔ в) /\ ¬в) → ¬а.

Читатель без труда сможет подобрать примеры для каждого из этих четырех модусов эквивалентно-категорического умозаключения.

Если обе посылки умозаключения представляют собой условные суждения, то это чисто условное умозаключение. Например:

((а → в) /\ (в → с)) → (а → с).

Простым силлогизмом называется умозаключение, обе посылки и вывод которого являются простыми суждениями. Фигура силлогизма — это взаимное расположение его терминов, а модус — набор видов простых суждений, входящих в него. В разделительно-категорическом умозаключении первая посылка является дизъюнктивным суждением, а в условно-категорическом — импликативным. Как в простом силлогизме, так и в разделительно-категорическом и условно-категорическом умозаключениях истинность посылок не гарантирует истинности вывода, требуется также соблюдать определенные правила этих умозаключений. При нарушениях этих правил из истинных посылок могут вытекать ложные выводы.

• Гетманова А.Д. Учебник по логике. — М.: Че Ро, 2000.

• Гусев Д.А. Логика: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

• Гусев Д.А. Конспект лекций с задачами: Учебное пособие для вузов. — М.: Айрис Пресс, 2005.

• Гусев Д.А. Логика: Учебное пособие. — М.: МПСИ, 2005.

• Гусев Д.А. Тестовые задания и занимательные задачи по логике. — М.: МПСИ, 2003.

• Ивин А.А. Логика: Учебное пособие. — М.: Знание, 1998.

• Ивин А.А. Практическая логика. Задачи и упражнения. — М.: Просвещение, 1996.

• Ивин А.А. Строгий мир логики. — М., 1988.

• Краткий словарь по логике. — М., 1991.

• Свинцов В.И. Логика. Элементарный курс для гуманитарных специальностей. — М., 1998.