Математика:
3.
Векторная алгебра
3.1.
Скалярные величины и векторы

Величины, которые полностью характеризуются своим численным значением, называются скалярными (скалярами): t°, V, m, время, ...

Векторы — величины, для характеристики которых необходимо знать не только их числовые значения, но и направление: F, скорость, ускорение.

Обозначение: .

Длиной (модулем) вектора называется длина порождающего его отрезка.

Обозначение: .

Два вектора равны, если:

Очевидно, имеем дело со свободными векторами.

Два вектора противоположны, если выполняются 1 и 2 пункты, а направлены в разные стороны. Обозначаются: .


3.2.
Действия над векторами

Произведением вектора на число λ называют вектор ,который имеет длину , а направление зависит от знака λ. Равенство называется условием коллинеарности векторов: . Единичный вектор имеет длину, равную единице. Для него .

Несколько векторов называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Для 3-х векторов условие компланарности имеет вид: .

3.3.
Проекция вектора на ось

Вектор называется составляющей вектора относительно оси ; длина составляющей называется проекцией вектора на .

Проекция .

Прямоугольная система координат в пространстве

— радиус-вектор точки М.

Обозначим:

,

,

,

и назовём х, у, z — координатами точки М (х, у, z).

Возьмем вектор и совместим его с (свободный вектор). Обозначим его проекции через . Очевидно .

Из чертежа:

Короче: . Очевидно , (длина диагонали параллелепипеда).

Действия над векторами, заданными в координатной форме.

1. .

2. 

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, определяемое по формуле:

.

Очевидно, Свойство: .

Скалярное произведение в координатной форме: т.к. а .

Тогда:

1.

.

.

.

Векторное произведение

Определение векторного произведения.

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , обладающий следующими свойствами:

1. Длина вектора равна , построенного на векторах и , т.е. .

2. Вектор перпендикулярен плоскости этого параллелограмма, т.е. , .

3. Векторы , и образуют правую тройку. Обозначается: или .

Из условия 1 следует, что , если и коллинеарны.

Свойства:

1. Вектор равен модулю вектора , но направлен в противоположенную сторону, т.е . (Векторное произведение не подчиняется переместительному закону).

2. .... . (Векторное произведение подчиняется сочетательному закону).

3. . (Векторное произведение подчиняется распределительному закону).

Векторное произведение векторов в координатной форме

№ 1. В. произведения ортов.

.

Т.к , то ; аналогично ; .

№ 2. Вычисление в пр.

Рассмотрим теперь .

.

Примеры

1. Дано:

,

.

Найти: .

Решение:

.

.

.

2. Дано:

,

.

Найти:

Решение:



Менеджер ДО [E-Mail: info@e-college.ru]  E-Mail:  info@e-college.ru